Adresse
Université de Provence
Centre de Mathématiques et Informatique
39 rue Joliot-Curie
13 453 Marseille cedex 13
France
Téléphone prof. : (33) 4 91 11 36 30
Téléphone personnel : (33) 4 91 52 91 27
Télécopie : (33) 4 91 11 35 52
Adresse électronique : dermenji@cmi.univ-mrs.fr
Responsabilités actuelles
- membre du bureau de l'UFR MIM (Mathématiques-Informatique-Mécanique) de l'Université de Provence,
- membre du conseil de l'UFR MIM,
- membre élu de la section 26 (mathématiques et ses applications) du Conseil National des Universités,
- membre nommé pour 2 002 de la commission d'inscription des assistants sur la liste d'aptitude aux fonctions de Maitre de conférence,
- membre du comité scientifique du congrès Waves 2003 qui aura lieu du 30 juin au 4 juillet 2 003 à l'université de Jyväskylä (Finlande) en coopération avec l'INRIA.
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Interventions à l'extérieur
depuis 1998
- invité à l'université de la Réunion pour trois semaines de cours en février-mars 1 998;
- invité du 14 au 18 septembre 1 998 à l'université de Bucarest pour le colloque international New Results on Quantum Hamiltonians and Related Topics ;
- exposé aux rencontres Partial Differential Equations on Multistructures, CIRM, 19-24 avril 1 999 ;
- cours sur les problèmes inverses à l'université de Meknès (22-29/10/2 000);
- invité aux Journées Internationales sur les méthodes directes et inverses avec approches numériques, Fès, 30-31 octobre 2 000;
- exposé à l'université Paris-Nord le lundi 18 juin 2 001, lors de la journée scientifique en l'honneur de Jean-Claude Guillot;
- exposé dans la section Spectral theory of differential operators du 3rd International Congress ISAAC, 20-25 août 2 001, Berlin ;
- invité du 1 au 8/12/2 001 à l'université de Bucarest (Roumanie);
- exposé à la Conference on the Inverse Problem for the identification of discontinuity and related problems, Hokkaido University, Sapporo (Japon), 1-3/2/02 ;
- séminaire le 14 février 2 002 à Ritsumeikan University (Kyoto, Japon);
- Colloque Quantum Hamiltonians with Magnetic Fields du 8 au 14 septembre 2 002 à l'Institut de Mathématiques Simion Stoilow de l'Académie Roumaine, Bucarest ;
- exposé aux Journées scientifiques sur les Équations différentielles et leurs applications, Annaba (Algérie), 14-15 octobre 2 002.
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Description des centres d'intérêts
Je considère principalement les équations linéaires de l'acoustique et de l'élasticité pour les milieux stratifiés non bornés, perturbés ou non, et je regarde ce que cette absence d'homogénéité implique comme difficultés, et divergences avec les milieux homogènes, dans différentes approches de la diffusion (théorie spectrale, propagation des ondes, problèmes inverses, ...) ainsi que les résultats qui subsistent.
Considérons, pour situer la problématique, un opérateur autoadjoint A, de domaine D(A) inclus dans l'espace de Hilbert H. Le principe d'absorption limite consiste à dire que la limite de l'inverse de (A- l -ie) existe lorsque e tend vers 0 et l appartient au spectre essentiel de A à condition de restreindre convenablement l'espace de départ et d'augmenter l'espace d'arrivée (par exemple, si A est le Laplacien on vérifie que le spectre essentiel de A est [0,µ)). Ce principe a été très développé par l'école russe (D. Eidus, B. Vainberg, ...) et popularisé en occident par C. Wilcox. Il fut nettement amélioré par S. Agmon, et L. Hörmander l'a optimisé pour des opérateurs à coefficients constants, au besoin perturbés. Ce principe n'est bien connu que pour les opérateurs précédents mais, une fois prouvé, il est à la base des approches stationnaires permettant d'étudier la diffusion associée à de nombreux problèmes. Dans ce but, on peut utiliser des développements en fonctions propres généralisées qui permettent d'obtenir des estimations très précises montrant la validité du principe dans certaines situations à coefficients discontinus et permettent ainsi de pointer différences et analogies (certaines n'étant même pas soupçonnées). On peut aussi utiliser la méthode de l'opérateur conjugué (dite aussi méthode de Mourre) qui, de même, donne le principe d'absorption limite avec l'avantage de pouvoir considérer des milieux plus compliqués (par exemple, cf. [2],[5],[8]) mais avec des estimations moins fines en général. On ne peut alors pas toujours conclure en certains points du spectre essentiel comme les seuils, sauf à effectuer des études complémentaires.
On peut voir aussi les milieux stratifiés comme une situation intermédiaire entre un milieu homogène et des milieux dont les paramètres physiques sont des fonctions mesurables, positives et bornées. Comme il a été dit auparavant ils présentent l'avantage de permettre assez souvent, et si l'on s'en donne la peine, de prouver que certaines propriétés des milieux homgènes ne sont pas transplantables. Le cas le plus facile à exposer est la question des seuils :
- ils n'existent pas dans le cas du Laplacien que ce soit dans l'espace entier de dimension n ou le demi-espace avec condition de Dirichlet;
- toujours dans l'espace entier, ils apparaissent dans le cas de l'opérateur cA, où A est le Laplacien et c une fonction mesurable, positive, ne dépendant que de la dernière coordonnée, et ils correspondent à l'apparition de modes guidés dans la couche où la fonction c est minimum et, alors, ces seuils s'interprètent très aisément dans le cadre de l'analyse spectrale;
- ils interviennent dans une bande du plan construite par recollement de bandes homogènes superposées alors qu'ils disparaissent pour une bande du plan constituée par l'accolement de deux demi-bandes homogènes.
Je considère aussi des problèmes inverses dans
- des milieux homogènes perturbés : détermination du nombre d'obstacles par un nombre réduit de mesures,
- des milieux stratifiés et, en particulier, la définition de ce que l'on pourrait appeler l'amplitude de scattering. Ce dernier travail ne peut pas s'appuyer sur des travaux connus de physiciens pour ces milieux.
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Publications récentes
[1] A perturbative method for the spectral analysis of an acoustic multistratified strip, avec E. Croc, Math. Meth. Appl. Sci., 21, 1681-1704 (1998)
[2] Spectral Analysis of an acoustic multitraitement perturbed cylinder, avec M. Durand et V. Iftimie, CPDE, 23 (1&2), 141-169 (1998)
[3] Nouvelles propriétés des courbes et relation de dispersion en élasticité linéaire, avec T. Bouhennache, Math. Mod. Num. Ana., 33 (5), 1071-1090 (1999)
[4] Resonances for multistratified acoustic waveguides, avec O. Poisson et B. Vainberg, Appl. Analysis, 7 (1-4), 413-440 (1999)
[5] Méthodes à N corps pour un problème de milieux pluristratifiés perturbés, avec V. Iftimie, Publications RIMS, 35 (4), 679-709 (1999)
[6] Analyticity properties and estimates of resolvent kernels near thresholds, avec M. Ben-Artzi et J.-C. Guillot, CPDE, 25 (9&10), 1753-1770 (2000)
[7] Study of generalized eigenfunctions of a perturbed isotropic elastic half-space, avec P. Gaitan, M2AS 23, 685-708 (2000)
[8] Absence des valeurs propres pour les milieux pluristratifiés, avec V. Iftimie, Revue Roumaine de Math. Pures et Appl. 46 (4), 431-445 (2 001)
[9] Limit behaviour of the exterior resolvent for vanishing obstacles, avec E. Jalade, accepté pour publication dans les Actes du 3rd International Congress ISAAC, 20-25 août 2 001, Berlin
[10] Behaviour of (-D-k2 -i0+)-1 outside fading obstacles, independant scattering hypothesis and applications, avec E. Jalade, accepté pour publication dans M2AS.
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Indications sur les publications
[1] Nous montrons que les valeurs propres éventuelles dans une bande acoustique obtenue par accolement de deux demi-bandes stratifiées ne peuvent s'accumuler qu'à la gauche des seuils.
[2] Voir le commentaire sur la méthode de lopérateur conjugué.
[3] Alors que dans les milieux acoustiques on ne connaît que des exemples de courbes de dispersion (graphe des fonctions donnant les valeurs propres ou les modes guidés en fonction du nombre d'onde) monotones, nous montrons explicitement que les courbes de dispersion dans un milieu élastique ne sont plus systématiquement monotones. Ce fait ne figurait pas dans la littérature physique même si certaines représentations numériques (très rares) pouvaient le suggérer.
[4] Dans une bande stratifiée des seuils apparaissent. Ce sont des points du spectre essentiel liés aux spectres ponctuels d'opérateurs transverses. Leur importance est connue des physiciens puisque les seuils correspondent à des ondes guidées et pouvent donner naissance à des phénomèmes de résonances. J'avais prouvé en 1994 que certaines stratifications inhabituelles pouvaient les éliminer comme si des inhomogénéités pouvaient arranger les choses. Ce travail approfondit les diverses situations qui peuvent arriver et le comportement des solutions correspondantes lorsque le temps tend vers l'infini.
[5] Voir le commentaire sur la méthode de l'opérateur conjugué.
[6] J'ai expliqué précédemment que des seuils apparaissent dans un milieu stratifié remplissant lespace entier de dimension n. En fait, on se ramène à l'étude de l'opérateur Hpu = -c (xn)[r(xn) (r-1 (xn) u)-p2u] pour p >=0, et xn appartenant à R. Supposant que la fonction c soit égale à c+ près de l'infini positif et à c- près de l'infini négatif avec c+ < c-, les seuils sont les valeurs c± p2. Nous estimons le noyau de (Hp- z I)-1 en fonction de |z -c+ p2|-1/2 et |z - c- p2|-1/2 et, ceci, uniformément en p dans [0, L].
[7] Pour un demi-espace élastique, on ne connaît pas de conditions explicites pouvant jouer le rôle que les conditions de Sommerfeld entrante ou sortante jouent pour l'opérateur de Helmholtz. Nous prouvons que l'on peut s'en passer pour étudier numériquement l'influence d'un obstacle et, en particulier, son influence sur l'onde de Rayleigh (noter que c'est une onde de surface).
[8] Le titre est assez explicite.
[9] Je reviens à une situation classique, le Laplacien avec condition de Dirichlet dans le complémentaire d'un compact K qui est supposé borné et régulier. Nous regardons les propriétés de la résolvante lorsque la capacité newtonienne de K tend vers 0 et nous estimons l'erreur faite sur l'amplitude de scattering en utilisant l'approximation de Born au premier ordre.
[10] Nous déduisons du travail précédent une méthode de détermination du nombre de particules se trouvant dans une partie bornée de l'espace et ceci à l'aide d'une seule mesure. Bien que le résultat soit stable, on peut lui reprocher de ne donner que le nombre de particules. Cependant il a l'avantage de n'exiger qu'une mesure scalaire (c'est à dire, un scalaire, et non une mesure au sens de la théorie de la mesure) dans une direction alors qu'il est habituel d'avoir un meilleur résultat à condition d'exiger la connaissance de l'amplitude de diffusion dans toutes les directions, ce qui est impossible dans la pratique.
Encadrement
Mourad SINI
Anton MONSEF
Emmanuel JALADE