CNRS


   Séminaire
de 
Géométrie et Singularités
 






  UP  



romaine



 
 


Année 2005-2006

 
 



Centre de Mathématiques et d'Informatique
39, rue F. Joliot-Curie 13013 Marseille
Salle de Séminaire R164  Mardi 14h
Responsable: Nicolas Dutertre 
dutertre@cmi.univ-mrs.fr
http://www.cmi.univ-mrs.fr/~dutertre/seminaire/











                                           Septembre  2005
 




Mardi 20 septembre
14 h Dwi Juniati (Univ. Surabaya)
Lipschitz stratifications and quasihomogeneous stratifications
 

Mardi 27 septembre

14 h Nader Yeganefar (LATP, Marseille)
Variétés dont la courbure décroit quadratiquement


Nous nous intéressons à des variétés non compactes dont la courbure vérifie certaines conditions de décroissance à l'infini. Nous établissons des liens entre la topologie de ces variétés et leurs cones asymptotiques, qui sont des espaces métriques reflétant la géométrie à l'infini.
 





                                                                                                               
                                              Octobre  2005
 


Mardi 18 octobre
14 h Camille Plénat  (LATP, Marseille)
Le problème de Nash pour les surfaces


Mardi 25 octobre
14 h Eric Dago Akéké (LATP, Marseille)
Familles de singularités de surfaces normales à discriminants génériques équisinguliers et conditions de Whitney

 


                                             Novembre  2005
 


Mardi 01 novembre
Pas de séance.

Mardi 08 novembre
14 h Frédéric Bihan (Université de Savoie)
Systèmes polynomiaux supportés par un circuit et dessins d'enfant

On appelle circuit tout ensemble de n+2 points entiers dans Z^n. Un système polynomial est supporté par un circuit si ses n équations ont pour support commun un circuit dans Z^n.
On donne ici des bornes supérieures sur le nombre de solutions réelles d'un tel système en fonction du "rang modulo 2" du circuit et de la dimension de l'espace affine du sous-ensemble minimal du circuit constitué de points affinement dépendants.
On montre que ces bornes sont exactes en dessinant des graphes sur la sphère de Riemann, qui sont des exemples de "dessins d'enfants".
On obtient aussi qu'un tel système a au plus n+1 solutions positives (dont toutes les coordonnées sont strictement positives), et cette borne est exacte. Cette dernière borne n+1 améliore considérablement la borne donnée par le théorème de Khovanskii (théorie des Fewnomials).

Mardi 15 novembre
14 h Bruce Gilligan (University of Regina, Canada)
Topological invariants of homogeneous manifolds

Mardi 22 novembre
14 h Christophe Eyral (Max Planck Institute, Bonn)
Sur la question de Zariski sur la multiplicité I

15 h 15  Pause Thé-Café

15 h 45 Christophe Eyral (Max Planck Institute, Bonn)
Sur la question de Zariski sur la multiplicité II

En 1971, Zariski a posé la question suivante : est-ce que la multiplicité d'une singularité d'hypersurface analytique réduite de C^n dépend seulement de son type topologique plongé ? Plus précisément, si f,g : (C^n,0) --> (C,0) sont des germes réduits de fonctions
holomorphes (à l'origine) tels que les germes d'hypersurfaces correspondants dans C^n  aient le même type topologique plongé,
alors est-il vrai que f et g ont la même multiplicité en 0 ?
En lieu et place d'un couple (f,g), on peut également considérer une question similaire pour une famille (Ft)t : si f : (C^n,0) --> (C,0) est un germe réduit de fonction holomorphe et (Ft)t une déformation (holomorphe) topologiquement constante de celui-ci (i.e, F0=f et, pour tout t proche de 0, Ft est réduit et a le même type topologique plongé que f), alors est-il vrai que (Ft)t est équimultiple ?
Plus de trente ans ont passé et ces questions sont, en général, toujours irrésolues (même dans le cas particulier d'hypersurfaces à singularitées isolées). La réponse est néanmoins connue, et positive, dans plusieurs cas particuliers que je rappelerai brièvement. La majeure partie de l'exposé sera consacrée aux développements les plus récents sur le sujet.


Mardi 29 novembre
14 h Mark Spivakovsky (Université de Toulouse III)
Développement de Puiseux à support non bien ordonné (version valuative de l'espace des arcs de Nash)
et uniformisaton locale

Etant donnée une valuation avec groupe de valeurs G, centrée dans un anneau local R, on étudie les séries formelles de la forme
uj(t)=Sg cjg tg
où les uj sont les générateurs de l'idéal maximal de R.
Ici g parcourt tous les éléments positifs ou nuls de G, ce qui est assez surprenant (le point de vue traditionnel est d'insister sur le fait que l'ensemble des exposants g est bien ordonné). On commencera par rappeler l'espace de Nash habituel et le phénomène d'élimination (théorème de Denef-Loeser). Ensuite on définira l'analogue valuatif de l'espace des arcs et on expliquera que l'on peut considérer la résolution des singularités (plutôt l'uniformisation locale) comme un avatar du phénomène d'élimination.



                                             Décembre  2005




Mardi 06 décembre
14 h Erwann Aubry (Université de Nice-Sophia-Antipolis)
Groupe fondamental en courbure de Ricci presque positive

Soit Mn une n-variété riemanienne complète. On note Rp la norme Lp (renormalisée par le volume) de la partie de la courbure de Ricci de M passant sous n-1. Dans le cas p>n/2, nous montrons que si Rp<C(p,n) alors la variété est compacte, de diamètre presque majoré par p et de groupe fondamental fini (c'est une généralisation d'un résultat de Myers). Dans le cas p=n/2 et si M est compacte, nous montrons que pour tout e>0, les métriques de M vérifiant Rp/2<e sont Gromov-Haussdorff denses dans l'ensemble des métriques de M.


Mardi 13 décembre
14 h, salle 005. Raphaël Zentner (LATP, Marseille)
PU(N)-Seiberg-Witten monopoles et applications

Nous étudions des généralisations des équations de Seiberg-Witten classiques àdes groupes structuraux plus grands et non-abéliens. Le cas des PU(2)-équations a déjà été étudié intensivement depuis plus de 10 ans avec le but de démontrer la conjecture de Witten: Pour certaines 4-variétés(dites de SW-type simple) les invariants de Donaldson, associés à des PU(2)-connections anti-autoduales, s'expriment en tant qu'expressions polynomiales des invariants de Seiberg-Witten et de données topologiques de la 4-variété. En 2004, Kronheimer a introduit des généralisations des invariants de Donaldson, associés à des PU(N)-connections anti-autoduales. Avec des calculs concrets pour une classe de 4-variétés importantes, il donne une forte indication que ces invariants ne contiennent pas d'informations topologiques plus fines que les invariants déjà connus. Nous adaptons les stratégies de Pidstrigach-Tyurin, Teleman-Okonek et Teleman pour donner une indication générale de la raison pour laquelle les invariants de Kronheimer doivent s'exprimer en termes des invariants de Seiberg-Witten seulement. Cette stratégie est basée sur l'étude des points fixesd'une opération de S1 sur l'espace des modules des monopoles PU(N).






                                              Janvier  2006




Mardi 10 janvier
14 h Arnaud Bodin (Université de Lille I)
Entrelacs des fonctions méromorphes

Pour une fonction méromorphe de plusieurs variables nous faisons une étude analogue à celle de Milnor pour les singularités de fonctions holomorphes. En particulier dans le cas de deux variables, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes afin que les entrelacs locaux et les entrelacs à l'infini soient fibrés. C'est un travail en commun avec Anne Pichon.


Mardi 17 janvier
14 h Joerg Winkelmann (Université de Nancy I)
Sur les variétés log-parallélisables

Une variété X s'appelle "log-parallélisable" s'il existe une compactification de X  par un diviseur D telle que le fibré tangent logarithmique TX(log D)  est trivial. On montre que chaque variété log-parallélisable admet une fibration où la base est compacte parallélisable et la fibre est une variété torique. 

15 h 15  Pause Thé-Café

15 h 45 Baohua Fu (Université de Nantes)

Résolutions crépantes des orbites nilpotentes projectivisées

Sur une orbite nilpotente dans une algèbre de Lie semi-simple complexe, il existe une forme symplectique holomorphe, qui induit une forme de contact sur sa projectivisation. Notons W la normalization de sa clôture, alors W n'a que des singularités rationnelles Gorenstein et une résolution crépante de W n'est rien d'autre qu'une résolution contacte. Dans cet exposé, nous déterminons toutes les résolutions crépantes de W.


Mardi 24 janvier
14 h Luca Scala (Université de Paris VII)
Perturbations de la métrique dans les équations de Seiberg-Witten

Soit M une variété différentiable compacte orientée de dimension 4. On étudie la dépendance d'une structure Spinc de la  représentation de Clifford r et de la métrique g et on  clarifie comment doit varier la structure  Spinc en fonction d'un changement de la seule métrique. On étudie les équations de Seiberg-Witten paramétrées par la métrique et la représentation de Clifford et leurs variations en fonction de la variation de la seule métrique. On montre que sur une surface de Kähler, pour une métrique hermitienne h générique, suffisamment proche de la métrique de Kähler de départ, il y a transversalité des équations de Seiberg-Witten et par conséquent l'espace de module des monopoles de Seiberg-Witten est lisse de la dimension attendue.

15 h 15  Pause Thé-Café

15 h 45 Françoise Michel (Université de Toulouse III)
Sur le bord de la fibre de Milnor des germes holomorphes f : C3 --> C à singularités non isolées


Mardi 31 janvier
14 h Dan Popovici (University of Warwick)
Inégalités de Morse singulière

Nous caractérisons le volume d'un fibré en droites holomorphes au-dessus d'une variété complexe compacte (non-nécessairement kählérienne) à l'aide des courants de la première classe de Chern du fibré. Ceci revient à établir des inégalités de Morse pour la cohomologie des grandes puissances du fibré tordues par les faisceaux d'idéaux multiplicateurs correspondant à des métriques à singularités quelconques. Une étape essentielle dans la preuve est d'établir une propriété de génération locale effective finie des faisceaux d'idéaux multiplicateurs via une étude asymptotique des noyaux de Bergman associés à des métriques de plus en plus singulières.





                                             Février  2006



Mardi 07 février
14 h Franck Pacard (Université de Paris XII)
Métriques Kähleriennes extrémales

Je vais décrire une série de résultats obtenus en collaboration avec C. Arezzo (Univ. Parma) et M. Singer (Univ. Edinburgh) sur l'existence de métriques extrémales et de métriques à courbure scalaire constante sur l'éclatement, en un nombre fini de points d'une variété Kähler munie d'une métrique extrémale ou d'une métrique dont la courbure scalaire est constante.

15 h 15  Pause Thé-Café

15 h 45 Maria Alice Bertolim (Unicamp, Brésil)
Réalisation de graphes de Lyapunov

En utilisant les inégalités de Poincaré-Hopf, nous avons montré qu'un nombre minimal de singularités non dégénérées peut être calculé en fonction de données homologiques de bord abstraites. En outre, ce nombre minimal peut être réalisé par un flot sur une variété à bord, satisfaisant l'information homologique de bord abstraite. Nous avons décrit tous les indices et types possibles (connectant ou disconnectant) de singularités réalisant ce nombre minimal.
Ensuite, nous avons étudié la structure algébrique des données de bord dynamiques et homologiques enregistrées à priori dans un graphe abstrait de Lyapunov. Nous avons abouti à un théorème général de décompositon en anses, qui est aussi une conséquence du résultat précédent. Nous avons présenté une procédure explicite pour la construction de flots de Morse sur des blocs isolants de dimension n, respectant les données de bord. Grâce au théorème de décomposition en anses, ces blocs ont été obtenus à l'aide d'une classe spéciale de recollements élémentaires. De plus, ces flots préservent non seulement les rangs donnés de l'indice homologiques de Conley, mais deviennent aussi optimaux au sens qu'aucun autre flot de Morse ne peut préserver cet indice avec moins de singularités.

Mardi 14 février

14h Erwann Delay (Université d'Avignon)
Espaces-temps stationnaires d'Einstein non singuliers avec infinie conforme prescrite

On s'intéresse aux solutions stationnaires non singulières des équations d'Einstein du vide avec constante cosmologique. Il est connu que lorsque cette constante est positive les solutions sont singulières et que lorsqu'elle est nulle la seule solution est l'espace-temps de Minkowski. Nous montrerons que lorsque cette constante est négative il existe une famille de dimension infinie de telles solutions.

Mardi 21 février
Pas de séance (vacances d'hiver)

Mardi 28 février
14 h Vincent Guedj (Université de Toulouse III)
Equations de Monge-Ampère complexes dégénérées

Nous étudions des équations de Monge-Ampère complexes dégénérées sur les variétés kählériennes compactes. Ces équations interviennent naturellement dans l'étude de la dynamique des applications rationnelles, ainsi que dans la recherche de métriques de Kähler-Einstein sur les variétés singulières. Nous indiquerons quelques résultats récents obtenus en collaboration avec P.Eyssidieux et A.Zeriahi.



                                            
                                             Mars  2006





Mardi 07 mars
14 h George Marinescu (Humboldt Universität, Berlin)
Le développement asymptotique du noyau de Bergman sur une variété non-compacte

Le but de cet exposé est de décrire quelques applications du développement asymptotique du noyau de Bergman associé aux puissances d'un fibré holomorphe positif sur une variété non-compacte: convergence de la métrique de Fubini-Study induite, inégalités de Morse holomorphes, théorèmes de Lefschetz.

Mardi 14 mars
14 h Frédéric Mangolte (Université de Savoie)
Espaces lenticulaires et composantes réelles de variétés  projectives uniréglées de dimension 3

Je parlerai des progrès récents dans la classification des variétés uniréglées réelles de dimension 3. En particulier, je  montrerai que toute somme connexe d'un nombre fini d'espaces lenticulaires est composante connexe d'une variété projective  uniréglée non singulière.
Ce résultat prouve une conjecture de J. Kollar. (Collaboration avec J. Huisman.)

Mardi 21 mars
14 h Ciprian Manolescu (Columbia University)
Link homology theories from symplectic geometry

For each positive integer n, Khovanov and Rozansky constructed an invariant of links in the form of a doubly-graded cohomology theory whose Euler characteristic is the sl(n) link polynomial. We use Lagrangian Floer cohomology on some suitable affine varieties to build a similar series of link invariants, and we conjecture them to be equal to those of Khovanov and Rozansky. Our work is a generalization of that of Seidel and Smith, who treated the case n=2.

Mardi 28 mars
14 h Benoît Bertrand (Université de Genève)
Caractéristique d'Euler des hypersurfaces tropicales réelles non-singulières

La géométrie tropicale a récemment eu des applications spectaculaires en géométrie énumérative tant réelle que complexe. Il existe un lien
étroit entre la géométrie tropicale et la méthode de Viro de construction d'hypersurfaces algébriques réelles. Le but de l'exposé est d'illustrer ce lien et de montrer que la caractéristique d'Euler d'une hypersurface tropicale réelle non singulière ne dépend que de son polytope de Newton. On verra qu'en dimension paire et quand la variété torique associée à ce polytope est non singulière, on peut relier cette caractéristique d'Euler à la signature d'une hypersurface algébrique complexe de même polytope de Newton.




                                             Avril  2006



Mardi 04 avril   (Séance annulée)
14 h Guillaume Deschamps (Université de Nancy I)
Espaces twistoriels et structures complexes exotiques

Le but de cet exposé est d'étudier les fibrations twistorielles $C^\infty$-triviales au-dessus de 4-variétés riemanniennes orientées. Lorsque M admet une métrique autoduale cela fournit des exemples de structures complexes non standards sur des 6-variétés qui généralisent ceux de Blanchard. Ces questions nous amènerons en particulier à déterminer d'une part les surfaces complexes qui possèdent une structure spin et d'autre part celles qui possèdent une métrique riemannienne autoduale.
 

Mardi 11 avril
14 h Guillaume Rond (University of Toronto)
Version forte du théorème d'approximation d'Artin

Nous allons discuter du comportement de la fonction d'Artin d'un système d'équations polynomiales ou formelles à coefficients dans l'anneau des séries formelles. Nous allons présenter d'abord différents exemples. Nous ferons ensuite le lien avec un résultat d'approximation diophantienne entre le corps des séries en plusieurs variables et son complété pour la topologie de Krull.

Mardi 18 avril
Pas de séance (vacances de printemps)

Mardi 25 avril
Pas de séance (vacances de printemps)


                                             Mai  2006



Mardi 02 mai
14 h Salah Mehdi (Université de Paris VII)
Réalisation géométrique de représentations de groupes de Lie et opérateur de Dirac cubique sur les espaces homogènes.

Nous montrons comment il est possible de réaliser certaines représentations des groupes de Lie réels réductifs comme des spineurs
harmoniques de l'opérateur de Dirac cubique. En particulier cela fournit une description explicite de solutions lisses de l'équation de Dirac sur une variété homogène. Ces résultats généralisent les travaux de Parthasarathy (Annals of Mathematics 1972) et Atiyah-Schmid (Inventiones 1977). Nous discuterons également divers aspects algébriques et géométriques de l'opérateur de Dirac cubique.


Mardi 09 mai

14 h Stéphane Collion (Université de Paris VI)
Fonctions critiques et EDP elliptiques sur les  variétés riemanniennes compactes

On étudie dans ce travail l'existence de solutions minimisantes pour l'équation Dgu +h . u =f.u n+2/n-2 sur une variété riemannienne compacte dans le cas limite, non résolu par des méthodes variationnelles. On utilise le concept de "fonction critique" introduit par E. Hebey et M.Vaugon pour l'étude de la deuxième meilleure constante dans les plongements de Sobolev.


Mardi 16 mai
Une journée très singulière à l'Institut de Mathématiques de Luminy

Voir programme

Mardi 23 mai
14 h Paolo Aluffi (Florida State University)
ProChow groups and Chern-Schwartz-MacPherson classes

I will introduce a `proChow' functor, agreeing with the Chow functor for complete varieties but with enhanced covariance properties.
As an application, I will present a new construction of characteristic classes for singular varieties.


Mardi 30 mai
14 h Leslie Wilson (University of Hawaii)
Approximation of subanalytic sets by normal cones

A notion of approximation of order s (called s-equivalence) between two closed subanalytic subsets of Rn along a common submanifold is introduced. It is proved that the normal cone NX(A) to A along X is 1-equivalent to A along X, assuming that X is a stratum of a stratification of A satisfying Verdier's condition (w).  Furthermore the normal cone is shown to be a complete invariant for the classes of 1-equivalence of subanalytic sets along a common stratum. It is a joint work with M. Ferrarotti and E. Fortuna.

15 h 45 Nicolas Dutertre (Université de Provence)
Voisinages semi-algébriques d'ensembles semi-algébriques fermés

Etant donné un ensemble semi-algébrique fermé (non nécessairement compact) X de Rn, on construit une fonction positive semi-algébrique f de classe C2 telle que X=f--1(0) et telle que pour d>0 suffisamment petit, l'inclusion de X dans
f--1([0,d]) est une rétraction.



                                             Juin  2006



Mardi 06 juin
13 h 45 David Sattinger (Yale University)
Inverse scattering problems in connection with integrable systems

The inverse scattering problem for the Camassa-Holm equation in the case of multi-peakons can be transformed to an inverse acoustic problem on the interval (-1,1) of the type considered by M.G. Krein. The solution to the inverse problem is obtained using formulas of T.J. Stieltjes in his solution of the classical moment problem. Equivalently, one can obtain a set of orthonormal polynomials by "orthogonalizing" the polynomials ln with respect to the spectral measure.
The original method of Gel'fand and Levitan, in their solution of the inverse spectral problem for the Schrodinger equation on the half line was obtained by "orthogonalizing" the functions cos l½s with respect to the given spectral measure. Their method applies also to the inverse Sturm Liouville problem on a finite interval.


Mardi 13 juin
14 h  Tatsuo Suwa (University of Niigata, Japon)
Résidus des classes caractéristiques

Mardi 20 juin
14 h Guillaume Deschamps (Université de Nancy I)
Espaces twistoriels et 3-variétés complexes

Le but de cet exposé est d'étudier les fibrations twistorielles $C^\infty$-triviales au-dessus de 4-variétés riemanniennes orientées. Lorsque M admet une métrique autoduale cela fournit des exemples de structures complexes non standards sur des 6-variétés qui généralisent ceux de Blanchard. Ces questions nous amènerons en particulier à déterminer d'une part les surfaces complexes qui possèdent une structure spin et d'autre part celles qui possèdent une
métrique riemannienne autoduale.

Mardi 27 juin
14 h François Lalonde (Université de Montréal)
Homologie de Floer universelle